ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64529
Темы:    [ Параллелепипеды (прочее) ]
[ Вписанные многогранники ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Трапеции (прочее) ]
[ Сфера, описанная около тетраэдра ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Три плоскости разрезают параллелепипед на 8 шестигранников, все грани которых – четырёхугольники (каждая плоскость пересекает свои две пары противоположных граней параллелепипеда и не пересекает две оставшиеся грани). Известно, что вокруг одного из этих шестигранников можно описать сферу. Докажите, что и вокруг каждого из них можно описать сферу.


Решение

  Нам потребуются два почти очевидных утверждения.

  1. Если четырёхугольник вписан, то точка в пространстве, равноудалённая от трёх его вершин, равноудалена и от всех четырёх.

  2. Пусть отрезок, соединяющий точки на боковых сторонах трапеции (или параллелограмма), делит её на два четырёхугольника. Если один из них вписанный, то и второй вписанный.
  (Действительно, из условия следует, что соответствующие углы этих четырёхугольников равны.)

  Для решения задачи достаточно доказать, что шестигранник, соседний с вписанным, является вписанным.
  Пусть ABCD – нижняя грань параллелепипеда, AEFHKLMN и EBGFLPQM – соседние шестигранники (см. рисунок), первый из которых вписанный. Тогда все его грани – вписанные четырёхугольники.

  Рассмотрим центр O описанной сферы тетраэдра BEGP. Он равноудален от точек B, E, G, P. Четырёхугольники BEFG и BELP вписанные (поскольку ABGH и ABPK – трапеции), значит, к этому набору равноудалённых от O точек добавляются F и L. Теперь к этому набору можно добавить точку M (четырёхугольник EFML вписан) и наконец точку Q (четырёхугольник PQML вписан, поскольку KPQN – трапеция). Итак, O равноудалена от всех вершин шестигранника EBGFLPQM, то есть является центром описанной вокруг него сферы.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2008/2009
Номер 30
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .