ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64546
Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
Сложность: 3
Классы:
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Корни квадратного трёхчлена  f(x) = x² + bx + c  равны m1 и m2, а корни квадратного трёхчлена  g(x) = x² + px + q  равны k1 и k2.
Докажите, что  f(k1) + f(k2) + g(m1) + g(m2) ≥ 0.


Решение

  Обозначим:  A = f(k1) + f(k2) + g(m1) + g(m2).

  Первый способ. Так как  f(x) = (x – m1)(x – m2),  g(x) = (x – k1)(x – k2),  то  f(k1) + f(k2) = (k1m1)(k1m2) + (k2m1)(k2m2),
g(m1) + g(m2) = (m1k1)(m1k2) + (m2k1)(m2k2).

  Сгруппировав слагаемые и вынеся общие множители за скобки, получим:
    A = (k1m1)(k1m2m1 + k2) + (k2m2)(k1m2m1 + k2) = (k1m2m1 + k2)2 ≥ 0.

  Второй способ.    
  Аналогично,  g(m1) + g(m2) = b² – 2cpb + 2q.  Следовательно,  A = p² – 2qbp + 2c + b² – 2cpb + 2q = p² – 2bp + b² = (pb)² ≥ 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2013
класс
Класс 10
задача
Номер 10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .