ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64549
Темы:    [ Точка Торричелли ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Признаки подобия ]
[ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 4-
Классы:
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K, а на стороне AC – точка M. Отрезки BM и CK пересекаются в точке P. Оказалось, что углы APB, BPC и CPA равны по 120°, а площадь четырёхугольника AKPM равна площади треугольника BPC. Найдите угол BAC.


Решение

  К обеим частям равенства  SAKPM = SBPC  прибавим площадь треугольника BPK (см. рис.). Получим, что  SABM = SBCK.  Следовательно,
AM/AC·SABC = BK/AB·SABC ,  то есть  BK : AB = AM : AC.  Таким образом, точки K и M делят отрезки BA и AC в одном и том же отношении, считая от вершин B и A соответственно, то есть   BK : KA = AM : MC.  (*)

  Заметим теперь, что  ∠BPK = ∠KPA = ∠APM = ∠MPC = 60°.  Значит, PK и PM – биссектрисы треугольников APB и APC соответственно. По свойству биссектрисы треугольника   BK : KA = BP : PA  и  AM : MC = AP : PC .  Учитывая равенство (*), получим  BP : PA = AP : PC.
  Таким образом, треугольники BPA и APC подобны (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно,  ∠PAC = ∠PBA.  Значит,
BAC = ∠BAP + ∠PAC = ∠BAP + ∠PBA = 180° – 120° = 60°.


Ответ

60°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2013
класс
Класс 10
задача
Номер 10.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .