ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64553
Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Квадратные уравнения и системы уравнений ]
Сложность: 3+
Классы:
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Для квадратного трёхчлена  f(x) и некоторых действительных чисел l, t и v выполнены равенства:  f(l) = t + vf(t) = l + vf(v) = l + t.
Докажите, что среди чисел l, t и v есть равные.


Решение

  Пусть  f(x) = ax² + bx + c  (a ≠ 0).  Из условия вытекают следующие равенства:  al² + bl + c = t + v,  at² + bt + c = v + l,  av² + bv + c = l + t.
  Вычитая из первого равенства второе, получим  a(l² – t²) + b(l – t) = t – l.  Аналогично,  a(l² – v²) + b(l – v) = v – l.
  Предположим, что  l ≠ t  и  l ≠ v.  Тогда  a(l + t) + b = –1,  a(l + v) + b = –1.
  Вычитая, получим  a(tv) = 0,  откуда  t = v.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2013
класс
Класс 11
задача
Номер 11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .