Задача 64561

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Полуокружность с диаметром AD касается катета BC прямоугольного треугольника ABC в точке М (см. рисунок).
Докажите, что AM – биссектриса угла BAC.

Решение

Проведём радиус ОМ данной полуокружности (см. рис.).  ОМ = ОА,  следовательно,  ∠ОАМ = ∠ОМА.  Кроме того,  ОМ ⊥ ВС,  значит,  ОМ || AC,  поэтому  ∠САМ = ∠ОМА.  Таким образом,  ∠ОАМ = ∠САМ,  то есть AM – биссектриса угла BAC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2013/14
класс
Класс	8
задача
Номер	8.2.2