ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64589
Темы:    [ Арифметическая прогрессия ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите все возрастающие арифметические прогрессии с конечным числом членов, сумма которых равна 1, и каждый член имеет вид 1/k, где k – натуральное.


Решение 1

  Пусть 1/m – наибольший член прогрессии. Тогда в прогрессии более m членов (иначе сумма меньше 1). С другой стороны, разность прогрессии
d1/m1/m+1 = 1/m(m+1),  поэтому членов не более  m + 1.  Итак, число членов равно  m + 1,  а среднее арифметическое всех членов равно  1/m+1.  Поскольку только один член прогрессии больше среднего арифметического, в прогрессии не более трёх членов. Поэтому  m + 1 = 3,  а сама прогрессия –  1/6, 1/3, 1/2.


Решение 2

  Домножив на НОК знаменателей, получим возрастающую арифметическую прогрессию {ai} из n натуральных чисел, сумма S которой делится на каждый член. Члены этой прогрессии, очевидно, не имеют общего делителя, значит, её разность d взаимно проста с каждым членом. Разберём два случая.
  1)  n = 2k.  Тогда  S = n/2 (ak + ak+1) = nak+1kd,  откуда kd, а поэтому и k кратно ak+1. Но это невозможно, так как  ak+1 > k.
  2)  n = 2k + 1.  Тогда  S = nak+1 = nak + nd,  откуда  n = 2k + 1  кратно ak. Но поскольку  ak ≥ k,  это возможно только при  ak = k = 1.  Отсюда единственный ответ:  1/6, 1/3, 1/2.


Ответ

1/6, 1/3, 1/2.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 29
Дата 2007/2008
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .