ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64597
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите все натуральные n, при которых  (n + 1)!  делится на сумму  1! + ... + n!.


Решение

  Пусть  n > 2  и  (n + 1)! = k(1! + ... + n!).  Заметим, что  k < n  (поскольку  n(1! + ... + n!) > n((n – 1)! + n!) = n·(n – 1)! + n·n! = n! + n·n! = (n + 1)! ).
  Разделив равенство на k, получим  (k – 1)!(k + 1)(k + 2)·...·n = 1! + ... + n!.  Однако левая часть в этом равенстве чётна, а правая нечётна. Противоречие.


Ответ

n = 1, 2.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 29
Дата 2007/2008
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .