Задача 64600

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Может ли наименьшее общее кратное целых чисел 1, 2, ..., n быть в 2008 раз больше, чем наименьшее общее кратное целых чисел 1, 2, ..., m?

Решение

Пусть  2^k ≤ m < 2^k+1,  3^l ≤ m < 3^l+1.  Если частное     делится на 8, то  n ≥ 2^k+3 > 4m > 3m ≥ 3^l+1,  и, следовательно, с делится на 3. А 2008 делится на 8, но не на 3.

Ответ

Не может.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	29
Дата	2007/2008
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	2