ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64607
Темы:    [ Системы точек ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Несколько (конечное число) точек плоскости окрашены в четыре цвета, причём есть точки каждого цвета. Никакие три из этих точек не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся три разных (возможно, пересекающихся) треугольника, каждый из которых имеет вершины трёх разных цветов и не содержит внутри себя окрашенных точек.


Решение

  Рассмотрим треугольник, наименьший (по площади) среди треугольников с вершинами трёх разных цветов. Внутри него нет окрашенных точек (если бы такая была, то, соединив её с вершинами двух других цветов, мы получили бы меньший треугольник). Пусть это оказался треугольник с вершинами 1-го, 2-го и 3-го цветов.
  Теперь рассмотрим наименьший "разноцветный" треугольник, имеющий вершину 4-го цвета. Пусть это оказался треугольник с вершинами 1-го, 2-го и 4-го цветов. Внутри него не может быть точек этих трёх цветов. Но и точки 3-го цвета быть не может: соединив её с вершинами 1-го и 4-го цветов, мы бы получили меньший по площади треугольник с вершиной 4-го цвета.
  Наконец рассмотрим наименьший "разноцветный" треугольник, имеющий вершины 3-го и 4-го цветов. Аналогично показываем, что и внутри него нет окрашенных точек.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 29
Дата 2007/2008
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .