Задача 64609

Темы:    [ Арифметические действия. Числовые тождества ] [ Уравнения в целых числах ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, d, что  ^a/_b + ^c/_d = 1,  ^a/_d + ^c/_b = 2008?

Решение

Например,  a = 2009·(2008·2009 – 1),  b = 2008·2010·(2008·2009 – 1),  c = 2008·2009 – 1,  d = 2008·2010.

Ответ

Существуют.

Замечания

1. Идеология. Решив систему     получим     Нам нужно, чтобы числа     были целыми. Взяв  c = 1,  a = 2009,  мы добьёмся, чтобы b было целым. При умножении a и c на k значения b и d тоже умножатся на k. Выбрав  k = 2008·2009 – 1  (знаменатель второй дроби), мы сделаем целыми уже оба числа.

2. 7 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	29
Дата	2007/2008
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	6