ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64609
Темы:    [ Арифметические действия. Числовые тождества ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, d, что  a/b + c/d = 1,  a/d + c/b = 2008?


Решение

Например,  a = 2009·(2008·2009 – 1),  b = 2008·2010·(2008·2009 – 1),  c = 2008·2009 – 1,  d = 2008·2010.

Ответ

Существуют.

Замечания

1. Идеология. Решив систему     получим     Нам нужно, чтобы числа     были целыми. Взяв  c = 1,  a = 2009,  мы добьёмся, чтобы b было целым. При умножении a и c на k значения b и d тоже умножатся на k. Выбрав  k = 2008·2009 – 1  (знаменатель второй дроби), мы сделаем целыми уже оба числа.

2. 7 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 29
Дата 2007/2008
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .