|
|
 |
Условие
Даны две окружности и три прямые, каждая прямая высекает на окружностях хорды равной длины. Точки пересечения прямых образуют треугольник.
Докажите, что описанная окружность этого треугольника проходит через середину отрезка между центрами данных окружностей.
Решение
Пусть O1 и O2 – центры данных окружностей, P – середина отрезка O1O2, Q – основание перпендикуляра, опущенного из P на одну из данных прямых, H1 и H2 – середины высекаемых этой прямой хорд K1L1 и K2L2 длины 2d. Тогда Q – середина отрезка H1H2 (так как отрезок O1O2 проектируется на H1H2). Пусть OH1 = OH2 = l. Степень точки Q относительно первой окружности равна Тот же результат мы получим, вычисляя степень точки Q относительно второй окружности. Следовательно, точка Q лежит на радикальной оси данных окружностей.
Таким образом, основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны указанного в условии треугольника, лежат на одной прямой. Согласно задаче 56934 б) точка P лежит на описанной окружности этого треугольника.
Замечания
8 баллов
