ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64618
Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны 111 различных натуральных чисел, не превосходящих 500.
Могло ли оказаться, что для каждого из этих чисел его последняя цифра совпадает с последней цифрой суммы всех остальных чисел?


Решение

Пусть это случилось. Обозначим такие числа  a1, a2, ..., a111,  а их сумму – через S. По условию, для каждого k числа ak и  Sak  оканчиваются одной и той же цифрой. Отсюда следует, что разность этих чисел, равная  S – 2ak,  делится на 10. Следовательно, при любом k число 2ak оканчивается последней цифрой суммы S. Это означает, что разность между каждыми двумя числами ak кратна 5. Итак, все 111 различных чисел ai должны давать одинаковые остатки от деления на 5. Но среди чисел от 1 до 500 ровно по 100 чисел, дающих фиксированный остаток от деления на 5. Противоречие.


Ответ

Не могло.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2013-2014
этап
1
Вариант 4
класс
Класс 9
задача
Номер 9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .