ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64627
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Разложение на множители ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Стозначное натуральное число n назовём необычным, если десятичная запись числа n³ заканчивается на n, а десятичная запись числа n² не заканчивается на n. Докажите, что существует не менее двух стозначных необычных чисел.


Решение

Например, такими числами являются  n1 = 10100 – 1 = 99...9  и  n2 = 5·1099 – 1.  Действительно, числа     и     делятся на 10100; это означает, что
  оканчивается на ni. С другой стороны, числа     не делятся на 5 (и тем более на 10100); значит,    не оканчивается на ni.

Замечания

Существуют и другие необычные стозначные числа.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2013-2014
этап
1
Вариант 4
класс
Класс 10
задача
Номер 10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .