ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64634
Темы:    [ Многоугольники (прочее) ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый семиугольник. Выбираются четыре произвольных его угла и вычисляются их синусы, от остальных трёх углов вычисляются косинусы. Оказалось, что сумма таких семи чисел не зависит от изначального выбора четырёх углов. Докажите, что у этого семиугольника найдутся четыре равных угла.


Решение

  Рассмотрим одну из сумм из условия. Затем переставим в ней аргументы одного синуса и одного косинуса (назовём эти аргументы α и β, соответственно) сумма при этом изменится на

  По условию значение суммы не изменяется, значит,  sin(α – π/4) = sin(β – π/4).  Поскольку  α, β ∈ (0, π),  это может случиться лишь при  α – π/4 = β – π/4  или  α – π/4 = π – (β – π/4),  то есть при  β = α  или  β = /2 – α.
  Итак, если α – произвольный угол семиугольника, то каждый из остальных его углов равен либо α, либо /2 – α. Значит, углы семиугольника принимают не более двух различных значений, поэтому четыре из них принимают одно и то же значение.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2013-2014
этап
1
Вариант 4
класс
Класс 11
1
задача
Номер 11.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .