Задача 64638

Темы:    [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Числа x, y и z таковы, что все три числа  x + yz,  y + zx  и  z + xy  рациональны, а  x² + y² = 1.  Докажите, что число xyz² также рационально.

Решение

xyz² = xyz² + z – z = xyz² + (x² + y²)z – z = (yz + x)(zx + y) – (xy + z).

Замечания

Из условий задачи не следует, что все три числа x, y, z рациональны. Например, этим условиям удовлетворяет тройка чисел  

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2013-2014
этап
	1
Вариант	4
класс
Класс	11
	1
задача
Номер	11.5