Задача 64640

Темы:    [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Неравенства. Метод интервалов ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Авторы: Богданов И.И., Сухов К.

Дан многочлен  P(x) = a_2nx²ⁿ + a_2n–1x^2n–1 + ... + a₁x + a₀,  у которого каждый коэффициент a_i принадлежит отрезку  [100, 101].
При каком минимальном натуральном n у такого многочлена может найтись действительный корень?

Решение

  Пример. Назовём многочлен, удовлетворяющий условию задачи, красивым. Многочлен  P(x) = 100(x²⁰⁰ + x¹⁹⁸ + ... + x² + 1) + 101(x¹⁹⁹ + x¹⁹⁷ + ... + x) красив и имеет корень –1. Значит, при  n = 100  требуемое возможно.
  Оценка. Докажем, что при  n < 100  красивый многочлен положителен на всей оси. Это, очевидно, выполнено при x ≥ 0; для отрицательных же
x = –t  достаточно доказать неравенство  100(t²ⁿ + t^2n–2 + ... + t² + 1) > 101(t^2n–1 + t^2n–3 + ... + t)  при всех  t > 0.  Умножая его на  t + 1,  получаем равносильное неравенство  100(t²ⁿ⁺¹ + t²ⁿ + ... + 1) > 101(t²ⁿ + t^2n–1 + ... + t),  или  100(t²ⁿ⁺¹ + 1) > t²ⁿ + t^2n–1 + ... + t.   (*)
  Заметим, что  (t^k – 1)(t^2n+1–k – 1) ≥ 0  при всех  k = 1, ..., n  (обе скобки имеют одинаковые знаки при  t > 0). Раскрывая скобки, получаем
t²ⁿ⁺¹ + 1 > t^2n+1–k + t^k.
  Складывая все такие неравенства и учитывая, что  n < 100,  получаем  t²ⁿ + t^2n–1 + ... t ≤ n(t²ⁿ⁺¹ + 1) < 100(t²ⁿ⁺¹ + 1),  что и доказывает (*).

Ответ

n = 100.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2013-2014
этап
	1
Вариант	4
класс
Класс	11
	1
задача
Номер	11.7