ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64656
Темы:    [ Наглядная геометрия в пространстве ]
[ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Связность и разложение на связные компоненты ]
[ Проектирование помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Марачёв А.

Из кубиков 1×1×1 склеен куб 3×3×3. Какое наибольшее количество кубиков можно из него выкинуть, чтобы осталась фигура с такими двумя свойствами:
  - со стороны каждой грани исходного куба фигура выглядит как квадрат 3×3 (глядя перпендикулярно этой грани, мы не увидим просвета – видны 9 кубиков фигуры);
  - переходя в фигуре от кубика к кубику через их общую грань, можно от каждого кубика добраться до любого другого?


Решение

  Пример. Слои от нижнего к верхнему показаны на рисунке. Оставленные 13 кубиков отмечены чёрным. В каждом слое есть кубики во всех столбцах и строках. При наложении слоёв получается чёрный квадрат 3×3. Поэтому первое условие выполнено. Нижний и средний слои связны и склеиваются центральными кубиками. Каждый кубик верхнего слоя склеен с соответствующим кубиком среднего слоя. Значит, и второе условие выполнено.

  Оценка. Пусть осталось n кубиков. Мы видим 6·9 их граней. Для связности необходима хотя бы  n – 1  склейка. Значит, ещё хотя бы  2n – 2  грани мы не видим. Поэтому  2n – 2 + 54 ≤ 6n,  откуда  n ≥ 13.


Ответ

14 кубиков.

Замечания

9 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 35
Дата 2013/2014
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .