ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64659
Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Соображения непрерывности ]
[ Формула Герона ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Верно ли, что любой выпуклый многоугольник можно по прямой разрезать на два меньших многоугольника с равными периметрами и
  а) равными наибольшими сторонами?
  б) равными наименьшими сторонами?


Решение

  а) Каждой точке X границы многоугольника соответствует "противоположная" точка X': эти две точки разбивают периметр многоугольника пополам. Следовательно, точкой X однозначно определяются прямая разбиения XX' и два многоугольника равных периметров – правый RX (справа от луча XX') и левый LX. То, что получаются именно многоугольники, следует из выпуклости и неравенства многоугольника.
  Занумеруем стороны многоугольника. Для каждой точки X границы пусть di(X) – длина куска i-й стороны, входящего в RX (если вся сторона попала в RX, то  di(X) = 0);  d0(X) – длина отрезка XX'. Очевидно, все функции  d0(X), d1(X), d2(X), ...  непрерывны. Но тогда непрерывна и функция  
dR(X) = max {d0(X), d1(X), d2(X), ...},  а это как раз длина наибольшей стороны многоугольника RX.
  Аналогично непрерывна функция dL(X) – длина наибольшей стороны многоугольника LX. Непрерывная функция  dR(X) – dL(X)  в точках A и A';  принимает противоположные значения. Поэтому найдётся точка X, в которой  dR(X) – dL(X) = 0,  что и требовалось.

  б) Покажем, что это нельзя сделать для треугольника ABC с длинами сторон 9, 10, 11. Его полупериметр равен 15, а площадь (по формуле Герона) равна     Значит, наименьшая из высот этого треугольника больше 7.
  Пусть разрез проходит через одну из вершин. Тогда длина разреза больше 7, а отрезки, на которые он делит противоположную сторону не больше
15 – 9 = 6.  Значит, они и являются наименьшими сторонами двух полученных треугольников. Но эти отрезки, очевидно, не равны.
  Пусть разрез XX' не проходит через вершину. Тогда в получившемся четырёхугольнике наименьшая сторона (пусть AX) не превосходит  (15 – 9) : 2 = 3.  Рассмотрим стороны получившегося треугольника, лежащие на сторонах исходного. Меньшая из них больше  15 – 11 = 4.  Длина разреза
XX' > AX' – AX > 7 – 3 = 4.  Итак, наименьшая сторона четырёхугольника меньше наименьшей стороны треугольника.


Ответ

а) Верно;  б) неверно.

Замечания

1. Для примера в п. б) годится любой треугольник с различными, но достаточно близкими по длине сторонами.

2. Баллы: 4 + 4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 35
Дата 2013/2014
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .