ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64674
Темы:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Решите систему уравнений: .


Решение

  Запишем первые два уравнения в виде  z²(x² + y2z²) = 3xyzx²(y² + z² – x²) = 3xyz.  После вычитания получим
z²y² – x²y2 + x4z4 = 0  ⇔  (z² – x2)(y2z² – x²) = 0  ⇔  y² – z² – x² = 0  или  x² = z².  Первый случай противоречит третьему уравнению системы.
  Итак,  z = ± x.  После подстановки в первые два уравнения, получим  y = ±3,  а третье уравнение примет вид  y(y² – 2x²) = ± 21x².  После подстановки значения y, получим  3(9 – 2x²) = 21x²  ⇔  x² = 1.


Ответ

(1, 3, 1),  (–1, 3, –1),  (1, –3, –1),  (–1, –3, 1).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2013/14
класс
Класс 10
задача
Номер 4.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .