ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64678
Тема:    [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, у которого сумма тупых углов равна 3000°?


Решение

  Заметим, что выпуклый многоугольник не может иметь более трёх не тупых углов (если это не прямоугольник). Действительно, если таких углов больше трёх, то внешние углы, смежные с ними, – не острые, а это противоречит тому, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника (взятых по одному при каждой вершине) равна 360°.
  Таким образом, сумма углов данного многоугольника равна  3000° + ,  где  0 ≤ S ≤ 270.  Пусть у него n сторон, тогда  180(n – 2) = 3000 + S,  то есть
n = 2 + (3000 + S) : 180  ⇔  n = 18 + (120 + S) : 180.  Учитывая, что n – натуральное число, получим:  S = 60;  n = 19  или  S = 240,  n = 20.
  19-угольник, у которого один острый угол величиной 60° и 18 тупых углов с заданной суммой, равно как и 20-угольник с тремя острыми углами, сумма которых 240°, и 17 тупых углов с заданной суммой "построить" несложно. Например, в первом случае отложим на окружности последовательно 19 хорд, соответствующих центральному углу 131/3°. Продолжив концы крайних хорд до пересечения, получим 19-угольник, у которого 18 углов равны по 1662/3°.


Ответ

19 или 20.

Замечания

От участников регаты предъявлять примеры многоугольников не требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2013/14
класс
Класс 10
задача
Номер 5.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .