ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64734
Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Для каждой вершины треугольника ABC нашли угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из этой вершины. Оказалось, что эти углы в вершинах A и B равны друг другу и меньше, чем угол в вершине C. Чему равен угол C треугольника?


Решение

Нетрудно посчитать, что угол между биссектрисой и высотой в вершине X треугольника XYZ равен  ½ |∠Y – ∠Z|. Следовательно, если эти углы в вершинах A и B треугольника ABC равны, то  ∠A – ∠C = ∠B – ∠C  или  ∠A – ∠C = ∠C – ∠B.  В первом случае треугольник равнобедренный, то есть высота и биссектриса из вершины C совпадают, что противоречит условию. Во втором случае  ∠C = ½ (∠A + ∠B) = ½ (180° – ∠C) = 60°.


Ответ

60°.

Замечания

Нетрудно проверить, что условие задачи выполняется в любом неравностороннем треугольнике с углом C, равным 60°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2010
класс
Класс 9
задача
Номер 9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .