ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64743
Темы:    [ Взаимное расположение двух окружностей ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Каждая из двух равных окружностей ω1 и ω2 проходит через центр другой. Треугольник ABC вписан в ω1, а прямые AC, BC касаются ω2.
Докажите, что  cos∠A + cos∠B = 1.


Решение

  Пусть R – радиус окружностей, O – центр ω2, P – точка на ω1, диаметрально противоположная к O, а A' – точка касания AC и ω2. Так как CO – биссектриса угла ACB, точки A и B симметричны относительно прямой OP.
  Заменим сумму косинусов произведением:  cos∠A + cos∠B = 2 sin(½ ∠C) cos(½ (∠A – ∠B)).  Из отмеченной выше симметрии следует, что
½ |∠A – ∠B| = ∠OCP,  то есть  OP cos(½ (∠A – ∠B)) = CO.  Поскольку  ½ ∠C = ∠OCA = ∠OCA',  то  CO sin (½ ∠C) = OA' = R = OP/2.  Итак,     что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2010
класс
Класс 10
задача
Номер 10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .