Задача 64755

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы:

Условие

В трапеции ABCD  BC < AD,  AB = CD,  K – середина AD, M – середина CD, CH – высота.
Докажите, что прямые AM, CK и BH пересекаются в одной точке.

Решение

AM и CK – медианы треугольника ACD, следовательно, точка L их пересечения делит отрезок CK в отношении  2 : 1  (см. рис.). Кроме того,
BC : KH = 2 : 1,  поскольку  KH = ½ AD – ½ (AD – BC) = ½ BC.  Из параллельности AD и BC теперь следует, что BH делит отрезок CK в отношении  2 : 1,  то есть проходит через точку L.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	12 (2014 год)
Дата	2014-04-12
класс
Класс	10-11 класс
задача
Номер	1