ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64761
Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

По кругу расставлены 99 натуральных чисел. Известно, что каждые два соседних числа отличаются или на 1, или на 2, или в два раза.
Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.


Решение

Пусть каждое число даёт остаток 1 или 2 при делении на 3. Числа, дающие одинаковые ненулевые остатки при делении на 3, не могут отличаться на 1 или на 2; не могут они и отличаться в два раза. Значит, соседние числа дают различные остатки при делении на 3, то есть остатки 1 и 2 чередуются. Но тогда общее количество чисел должно быть чётным, что не так. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2013-2014
этап
Вариант 5
класс
Класс 9
задача
Номер 9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .