ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64765
Темы:    [ Простые числа и их свойства ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

К натуральному числу N прибавили наибольший его делитель, меньший N, и получили степень десятки. Найдите все такие N.


Решение

  Пусть m – наибольший делитель числа N, меньший, чем N. Тогда  n = mp,  где p – наименьший простой делитель числа N. Имеем
 m(p + 1) = N + m = 10k.  Число в правой части не делится на 3, поэтому  p > 2.  Отсюда следует, что N нечётно, а тогда и m нечётно. Поскольку 10k делится на m,  m = 5s.
  Если  m = 1,  то  N = p = 10k – 1,  что невозможно, так как  10k – 1  делится на 9, то есть не является простым. Значит,  s ≥ 1,  число N кратно 5, и потому  p ≤ 5.
  Если  p = 3,  то  4·5s = 10k,  откуда  k = 2,  m = 25  и  N = 75.
  Если же  p = 5,  то  p + 1 = 6,  и число 10k делится на 3, что невозможно.


Ответ

75.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2013-2014
этап
Вариант 5
класс
Класс 9
задача
Номер 9.5
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2013-2014
этап
Вариант 5
класс
Класс 10
задача
Номер 10.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .