ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64769
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Назовём натуральное число хорошим, если среди его делителей есть ровно два простых числа.
Могут ли 18 подряд идущих натуральных чисел быть хорошими?


Решение

  Предположим, что нашлись 18 хороших чисел подряд. Среди них найдутся три числа, делящихся на 6. Пусть это числа 6n,  6(n + 1)  и  6(n + 2).  Поскольку эти числа – хорошие, и в разложение каждого из них на простые множители входят двойка и тройка, других простых делителей у них быть не может.
  Лишь одно из трёх подряд идущих натуральных чисел n,  n + 1,  n + 2  может делиться на 3. Значит, остальные два являются степенями двойки. Но пары степеней двойки, отличающихся не более чем на два, – это только  (1, 2)  и  (2, 4);  поэтому  n ≤ 2.  Однако тогда среди наших 18 чисел есть простое число 13 (так как  6n ≤ 13 ≤ 6(n + 2)),  не являющееся хорошим. Противоречие.


Ответ

Не могут.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2013-2014
этап
Вариант 5
класс
Класс 10
задача
Номер 10.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .