ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64804
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Теорема синусов ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть ABCD – вписанный четырёхугольник. Докажите, что  AC > BD  тогда и только тогда, когда  (AD – BC)(AB – CD) > 0.


Решение 1

  Без ограничения общности можно считать, что дуги ABC и BCD не превосходят полуокружности. Тогда
AD = 2π – ⌣ABC – ⌣BCD + ⌣BC > ⌣BC.  Поскольку дуга ABC также больше дуги BC,  AD > BC.

  Теперь, если  AC > BD,  то  ⌣ABC > ⌣BCD,  ⌣AB > ⌣CD  и  AB > CD.
  При  AC < BD  все неравенства меняются на противоположные.


Решение 2

  Пусть AL – самый длинный из отрезков AL, BL, CL, DL (см. рис.). Тогда, в силу равенства  AL·CL = BL· DL,  CL – самый короткий из этих отрезков. Значит,  AL – CL > |BL – DL|,  откуда  AC² = (AL + CL)² = (AL – CL)² + 4AL·CL > |BL – DL|² + 4BL·DL = (BL + DL)² = BD²,  то есть  AC > BD.  Кроме того, из подобия треугольников ALB и DLC получаем, что  AB : CD = AL : DL,  то есть  AB > CD.  Аналогично из подобия треугольников ALD и BLC получаем
AD > BC.


Решение 3

  AC = 2R sin B,  BD = 2R sin A,  поэтому неравенство  AC > BD  эквивалентно неравенству  sin B > sin A.
  (AD – BC)(AB – CD) > 0  ⇔  AD·AB + BC·CD > AD·CD + BC·AB,  что эквивалентно (домножим на  ½ sin A sin B = ½ sin A sin D = ½ sin C sin B)

AD·AB sin A + ½ BC·CD sin C) sin B > (½ AD·CD sin D + ½ BC·AB sin B) sin A  ⇔  SABCD sin B > SABCD sin A  ⇔   sin B > sin A.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2014
класс
Класс 9
задача
Номер 9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .