Задача 64839

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

На стороне AB квадрата ABCD отмечена точка K, а на стороне BC – точка L так, что  KB = LC. Отрезки AL и CK пересекаются в точке P.
Докажите, что отрезки DP и KL перпендикулярны.

Решение

Отрезок DK при повороте на 90° вокруг центра квадрата переходит в отрезок AL, поэтому эти отрезки перпендикулярны. Аналогично  DL ⊥ CK.  Таким образом, прямые AL и CK содержат высоты треугольника DKL. Следовательно, P – его ортоцентр, а  DP ⊥ KL.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	36
Дата	2014/15
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер	3