|
|
 |
Условие
В треугольник вписан квадрат (две вершины на одной стороне и по одной на остальных). Докажите, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри квадрата.
Решение
Пусть в треугольнике ABC вершины квадрата K и L лежат на стороне AB (K между A и L), вершина M на стороне AC и вершина N на стороне BC (очевидно, углы A и B острые). Опустим из центра I вписанной окружности перпендикуляр IH на AB, и пусть отрезок DE проходит через I, параллелен AB и его концы D и E лежат соответственно на AC и BC. Нужно доказать, что DE > IH и H ∈ KL. Первое следует из того, что IH = r, а DE > 2r (r – радиус вписанной окружности).
Продолжим IH за точку I до пересечения с одной из сторон треугольника ABC в некоторой точке F. Пусть для определенности F ∈ AC. Тогда H и K лежат по одну сторону от L. Проведём через F прямую, параллельную AB, до пересечения с BC в точке G. Достаточно доказать, что FG < FH: тогда H и L лежат по одну сторону от K и потому I ∈ KL.
Заметим, что FH больше диаметра вписанной окружности, то есть FH > 2r. Поэтому отрезок FG не имеет общих точек с окружностью, значит, точки касания окружности с AC и BC находятся между прямыми FG и AB. Следовательно, соединяющая их хорда больше, чем FG. Но она меньше 2r, то есть FG < FH.
Замечания
Из решения видно, что вместо квадрата можно взять любой прямоугольник, у которого бóльшая сторона лежит на стороне треугольника и не превосходит удвоенной меньшей стороны.
