ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64892
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Теорема синусов ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Точка Микеля ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольник АВСD – вписанный. Лучи АВ и пересекаются в точке M, а лучи ВС и AD – в точке N. Известно, что  ВМ = DN.
Докажите, что  CM = CN.


Решение

Пусть  ∠MBC = α,  тогда  ∠CDN = ∠ABC = 180° – α  (рис. слева). Далее можно рассуждать по-разному.

       

  Первый способ. По теореме синусов в треугольниках ВСМ и DCN:     и     Так как
ВМ = DN,  ∠ВСМ = ∠DCN,  то  CM = CN.

  Второй способ. "Отрежем" треугольник DСN и приложим его к треугольнику ВСМ, совместив равные отрезки DN и ВМ (рис. в центре). Так как
MBC + ∠CDN = 180°,  то в результате образуется новый треугольник, в котором равны углы при вершинах С и C', значит, он – равнобедренный. Следовательно, CM = CN.

  Третий способ. Пусть описанная окружность треугольника ВСМ пересекает MN в точке Р (рис. справа). Тогда  ∠NPC = ∠MBC = α,  значит, точка Р лежит на описанной окружности треугольника DCN. Так как  ВМ = DN  и  ∠ВСМ = ∠DCN,  то радиусы этих окружностей равны. Углы CMN и CNM треугольника МСN опираются на равные дуги этих окружностей, поэтому эти углы равны. Следовательно,  CM = CN.

Замечания

Точка Р, полученная в третьем способе, называется точкой Микеля для прямых NA, NB, MA и MD. Через эту точку проходят также описанные окружности треугольников ANB и AMD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2014/15
класс
Класс 11
задача
Номер 11.2.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .