ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64903
Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Рожкова М.

В треугольнике ABC точка M – середина AB, а точка D – основание высоты CD. Докажите, что  ∠A = 2∠B  тогда и только тогда, когда  AC = 2MD.


Решение

Пусть K – середина AC (см. рис.). Так как DK – медиана прямоугольного треугольника ADC, то  AK = KD  и  ∠ADK = ∠A.  С другой стороны, MK – средняя линия треугольника ABC, следовательно,  ∠DMK = ∠B.  Применяя к треугольнику DMK теорему о внешнем угле, получаем, что равенства
KD = DM  и  ∠KDA = 2∠KMD  равносильны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2012
тур
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .