ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64904
Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вписанный n-угольник  (n > 3)  разбит непересекающимися (во внутренних точках) диагоналями на треугольники. Каждый из получившихся треугольников подобен хотя бы одному из остальных. При каких n возможна описанная ситуация?


Решение

  При чётном n можно разрезать правильный n-угольник на два равных многоугольника диагональю, проходящей через его центр, а потом разрезать эти два многоугольника одинаковым образом. Кроме того, можно на трёх сторонах правильного 2k-угольника построить равные треугольники с вершинами на описанной окружности. Поэтому при нечётном  n > 5  искомая ситуация тоже возможна. Осталось доказать, что она невозможна при  n = 5.
  Если центр описанной около пятиугольника окружности не лежит ни на одной из проведённых диагоналей, то треугольник, содержащий его, – остроугольный, а остальные – тупоугольные, то есть описанная ситуация не может иметь места. Если же центр лежит на диагонали, то два треугольника, примыкающие к этой диагонали, – прямоугольные, а третий – тупоугольный. Следовательно, указанная ситуация также невозможна.


Ответ

При  n = 4  и при  n > 5.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2012
тур
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .