Задача 64908

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Композиции симметрий ] [ Углы между биссектрисами ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Швецов Д.В.

На гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC отметили точку такую C₁, что  BC = CC₁.  Затем на катете AB отметили такую точку C₂, что
AC₂ = AC₁;  аналогично определяется точка A₂. Найдите угол AMC, где M – середина отрезка A₂C₂.

Решение

Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC. Так как точка C₁ симметрична B относительно CI, а C₂ симметрична C₁ относительно AI, то
BI = IC₂  и  ∠BIC₂ = 90°.  Аналогично  BI = IA₂  и  ∠BIA₂ = 90°  (см.рис.). Следовательно, I совпадает с M, а  ∠AIC = 135°.

Ответ

135°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
тур
задача
Номер	6