ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64913
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Признаки подобия ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Tran Quang Hung

Дан треугольник ABC и точка P. Точки A', B', C' – проекции P на прямые BC, CA, AB. Прямая, проходящая через P и параллельная AB, вторично пересекает описанную окружность треугольника PA'B' в точке C1. Точки A1, B1 определены аналогично. Докажите, что
  а) прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке;
  б) треугольники ABC и A1B1C1 подобны.


Решение

  а) Так как PC – диаметр описанной окружности треугольника PA'B', угол PC1C – прямой, то есть точка C1 лежит на высоте треугольника ABC. Аналогично точки A1, B1 лежат на двух других высотах. Поэтому прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в ортоцентре H.

  б) Точки A1, B1, C1 лежат на окружности с диаметром PH, поскольку углы PA1H, PB1H, PC1H – прямые. Следовательно, угол между прямыми A1C1 и B1C1 равен углу между прямыми HA1 и HB1, который как угол между высотами треугольника ABC равен углу между его сторонами AC и BC. Таким образом, углы треугольников ABC и A1B1C1 равны, то есть эти треугольники подобны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2012
тур
задача
Номер 11

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .