Задача 64914

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Синусы и косинусы углов треугольника ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Автор: Жанбулатулы М.

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Прямая, проходящая через O и параллельная BC, пересекает AB и AC в точках P и Q соответственно. Известно, что сумма расстояний от точки O до сторон AB и AC равна OA. Докажите, что сумма отрезков PB и QC равна PQ.

Решение

Из равенства  cos A + cos B + cos C = 1 + ^r/_R  (см. задачу 57621) следует, что в остроугольном треугольнике сумма расстояний от O до сторон равна сумме радиусов описанной и вписанной окружностей. Поэтому из условия следует, что прямая PQ проходит через центр I вписанной окружности. Тогда  ∠PIB = ∠IBP = ∠IBA  и  PB = PI.  Аналогично  QC = QI.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
тур
задача
Номер	12