Задача 64915

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Автор: Заславский А.А.

Даны точки A, B. Найдите геометрическое место таких точек C, что C, середины отрезков AC, BC и точка пересечения медиан треугольника ABC лежат на одной окружности.

Решение

Пусть точка C принадлежит ГМТ и медианы AA₀ и BB₀ треугольника пересекаются в точке M. Тогда  AM·AA₀ = AB₀·AC,  то есть  A₀A² = ¾ AC².  Аналогично  B₀B² = ¾ BC².  Поскольку в любом треугольнике отношение суммы квадратов медиан к сумме квадратов сторон равно ¾ (см. задачу 55300), из этих равенств следует, что медиана из вершины C равна   .   Нетрудно видеть, что любая точка окружности, кроме точек пересечения с прямой AB, входит в искомое ГМТ.

Ответ

Окружность с центром в середине AB и радиусом, равным     без точек пересечения с прямой AB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
тур
задача
Номер	13