ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64949
Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Квадратные уравнения и системы уравнений ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Про коэффициенты a, b, c и d двух квадратных трёхчленов  x² + bx + c  и  x² + ax + d  известно, что 0 < a < b < c < d.
Могут ли эти трёхчлены иметь общий корень?


Решение

  Поскольку коэффициенты обоих трёхчленов положительны, то их корни (если они есть) отрицательны.
  Общий корень x0 этих трёхчленов являентся корнем их разности, то есть  x0(b – a) = d – c.  Из условия следует, что  d – c > 0  и  b – a > 0,  то есть
x0 > 0.  Противоречие.


Ответ

Не могут.

Замечания

Условие положительности коэффициентов существенно. Например, трёхчлены:  x² – 4x + 3  и  x² – 5x + 4  имеют общий корень 1, при этом
–5 < –4 < 3 < 4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2014
класс
Класс 9
задача
Номер 9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .