Задача 64968

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Авторы: Мякишев А.Г., Мавло Д.

Около треугольника ABC описали окружность. A₁ – точка пересечения с нею прямой, параллельной BC и проходящей через A. Точки B₁ и C₁ определяются аналогично. Из точек A₁, B₁, C₁ опустили перпендикуляры на BC, CA, AB соответственно. Докажите, что эти три перпендикуляра пересекаются в одной точке.

Решение 1

Так как точка A₁ симметрична A относительно серединного перпендикуляра к BC, то перпендикуляр, опущенный из A₁ на BC симметричен высоте из AK. По теореме Фалеса он пересекает прямую OH (O – центр описанной окружности, H – ортоцентр треугольника ABC) в точке, симметричной H относительно O. Через эту же точку проходят два других перпендикуляра.

Решение 2

Пусть K, L и M – точки попарного пересечения прямых AA₁, BB₁и CC₁ (см. рис.).

Поскольку KBCA – параллелограмм, а AC₁CB – равнобокая трапеция, то  KA = BC = AC₁,  ∠KAB = ∠ABC = ∠BAC₁.  Таким образом, в равнобедренном треугольнике KAC₁AB является биссектрисой, а следовательно, и высотой. Значит,  KC₁ ⊥ AB || LM.  Аналогично доказывается, что LA₁ и MB₁ также являются высотами треугольника KLM. А три высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
класс
Класс	8
задача
Номер	8.3