ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64973
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Построения одной линейкой ]
[ Замечательное свойство трапеции ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пользуясь только линейкой, разделите сторону квадратного стола на n равных частей. Линии можно проводить только на поверхности стола.


Решение

  Сначала разделим сторону пополам. Проведя диагонали, найдём центр O квадрата ABCD. Теперь пусть X – точка на стороне BC, Y – точка пересечения XO и AD, U – точка пересечения AX и BY, V – точка пересечения прямых UC и XY (рис. слева). Тогда прямая BV делит основания трапеции CYUX пополам. Соединив O с серединой CY, разделим пополам стороны AB и CD.

  Покажем, что если две противоположные стороны разделены на k равных частей, то их можно разделить на  k + 1  равных частей. Пусть
AX1 = X1X2 = ... = Xk–1BDY1 = Y1Y2 = ... = Yk–1C.  Тогда по теореме Фалеса прямые  AY1, X1Y2, ..., Xk–1C  делят диагональ BD на  k + 1  равных частей (рис. справа). Аналогично разделив вторую диагональ и проведя через соответствующие точки прямые, параллельные BC, разделим на
k + 1  равных частей сторону AB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2011
класс
Класс 8
задача
Номер 8.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .