ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64979
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Пересекающиеся окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC  AA0 и BB0 – медианы, AA1 и BB1 – высоты. Описанные окружности треугольников CA0B0 и CA1B1 вторично пересекаются в точке Mc. Аналогично определяются точки Ma, Mb. Докажите, что точки Ma, Mb, Mc лежат на одной прямой, а прямые AMa, BMb, CMc параллельны.


Решение

Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC, а H – точка пересечения его высот. Так как  ∠CA0O = ∠CB0O = ∠CA1H = ∠CB1H = 90°,  то CO и CH – диаметры окружностей CA0B0 и CA1B1 соответственно. Поэтому проекция C на прямую OH лежит на обеих окружностях, то есть совпадает с Mc (см. рис.). Отсюда, очевидно, следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2011
класс
Класс 9
задача
Номер 9.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .