|
|
 |
Условие
В остроугольном треугольнике ABC O – центр описанной окружности, A1, B1, C1 – основания высот. На прямых OA1, OB1, OC1 нашли такие точки A', B', C' соответственно, что четырёхугольники AOBC', BOCA', COAB' вписанные. Докажите, что описанные окружности треугольников AA1A', BB1B', CC1C', имеют общую точку.
Решение
Пусть H – ортоцентр треугольника ABC. Тогда AH·HA1 = BH·HB1 = CH·CH1 (это следует из задачи 55463), то есть степени H относительно описанных окружностей треугольников AA1A', BB1B', CC1C' равны, причём точка H лежит внутри этих окружностей. С другой стороны,
∠BC'O = ∠BAO = ∠OBC1, то есть треугольники OC'B и OBC1 подобны и OC1·OC' = OB² (см. рис.). Следовательно, степени точки O относительно всех трёх окружностей также равны. Из условия ясно, что треугольник ABC – не равносторонний, поэтому точки O и H не совпадают. Поэтому прямая OH – общая радикальная ось этих трёх окружностей и, значит, содержит их общую хорду. Таким образом, эти окружности пересекаются в двух точках, лежащих на прямой OH.
