ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64995
Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Доказательство от противного ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В клетках таблицы 3×3 расставили цифры от 1 до 9. Затем нашли суммы цифр в каждой строке.
Какое наибольшее количество из этих сумм может оказаться полным квадратом?


Решение

  Наименьшая возможная сумма цифр в строке:  1 + 2 + 3 = 6,  а наибольшая:  7 + 8 + 9 = 24.  Значит, если сумма является полным квадратом, то она равна 9 или 16. Предположим, что в каждой строке сумма равна 9 или 16, то есть даёт остаток 2 при делении на 7. Тогда сумма всех цифр в таблице при делении на 7 даст остаток 6. Но сумма чисел от 1 до 9 равна 45, то есть , что при делении на 7 даёт остаток 3. Следовательно, трёх сумм – полных квадратов быть не может.
  Две такие суммы возможны, например, см. таблицу:


Ответ

Две суммы.

Замечания

Отметим, что в этом примере полными квадратами являются суммы как в первых двух строчках, так и в первых двух столбцах.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2014/15
класс
Класс 8
задача
Номер 8.2.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .