ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64996
Темы:    [ Средние величины ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Набор из нескольких чисел, среди которых нет одинаковых, обладает следующим свойством: среднее арифметическое каких-то двух чисел из этого набора равно среднему арифметическому каких-то трёх чисел из набора и равно среднему арифметическому каких-то четырёх чисел из набора. Каково наименьшее возможное количество чисел в таком наборе?


Решение

  Пусть  С(a1, ..., ak)  – среднее арифметическое чисел  (a1, ..., ak).  Заметим, что добавление к набору числа, отличного от его среднего арифметического, меняет исходное среднее арифметическое набора.
  Предположим, что  (a, b, c, d) – удовлетворяющий условию набор из четырёх чисел, и  С(a, b, c, d) = С(a, b, c) = С.  Тогда d = С.
  Набор из двух разных числа с тем же средним арифметическим не может содержать число d. Если же это, например, числа a и b, то  c = C = d,  что противоречит условию.
  Следовательно, удовлетворяющего условию набора из четырёх чисел не существует.
  Пример набора из пяти чисел: 1, 2, 3, 4, 5. Действительно,  С(2, 4) = С(2, 3, 4) = С(1, 2, 4, 5) = 3.


Ответ

5 чисел.

Замечания

Существуют и другие примеры.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2014/15
класс
Класс 8
задача
Номер 8.3.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .