Задача 65003

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Средняя линия трапеции ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Швецов Д.В.

В прямоугольном треугольнике ABC  (∠C = 90°)  биссектрисы AA₁ и BB₁ пересекаются в точке I. Пусть O – центр описанной окружности треугольника CA₁B₁. Докажите, что  OI ⊥ AB.

Решение

  Пусть A₂, B₂, C₂ – проекции точек A₁, B₁, I на гипотенузу AB (см. рис.). Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Так как AA₁ – биссектриса, то  AA₂ = AC.  С другой стороны, AC₂ – касательная, проведённая из точки A к вписанной окружности треугольника ABCi, и, значит, отрезок  A₂C₂ = AA₂ – AC₂   равен касательной к этой окружности, проведённой из точки C. Аналогично отрезок B₂C₂ равен той же касательной, то есть C₂ – середина A₂B₂. Значит, прямая C₂I – средняя линия трапеции A₁A₂B₂B₁, то есть пересекает отрезок A₁B₁ в его середине. Так как треугольник CA₁B₁ прямоугольный, эта середина совпадает с центром его описанной окружности.

  Второй способ. Точки C и B₂ симметричны относительно биссектрисы BB₁. Значит,  ∠BB₁C = ∠BB₁B₂,  то есть I – центром вневписанной окружности треугольника AB₁B₂. Следовательно, B₂I – биссектриса прямого угла B₁B₂A₂. Аналогично A₂I – биссектриса прямого угла A₁A₂B₂. Таким образом, треугольник B₂IA₂ – равнобедренный прямоугольный, то есть точка I лежит на серединном перпендикуляре к A₂B₂. Точка O будучи серединой боковой стороны B₁A₁ прямоугольной трапеции B₂B₁A₁A₂ также обладает этим свойством.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2010
тур
задача
Номер	2