Задача 65006

Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Швецов Д.В.

На высоте BD треугольника ABC взята такая точка E, что  ∠AEC = 90°.  Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников AEB и CEB; F, L – середины отрезков AC и O₁O₂. Докажите, что точки L, E, F лежат на одной прямой.

Решение

  Серединные перпендикуляры к отрезкам AE и EC являются средними линиями треугольника AEC и, значит, проходят через F. Таким образом, надо доказать, что прямая FE – медиана треугольника FO₁O₂.
  O₁O₂ || AC,  так как обе эти прямые перпендикулярны BD. Пусть прямая, проходящая через E и параллельная AC, пересекает FO₁ и FO₂ в точках X и Y (см. рис.). Так как FCEX и FAEY – параллелограммы, то  XE = FC = FA = EY.  Следовательно, FE – медиана треугольника FXY, а значит, и треугольника FO₁O₂.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2010
тур
задача
Номер	5