Задача 65008

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Удвоение медианы ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная медиане BM. Эта прямая пересекает высоты, выходящие из вершин A и C (или их продолжения), в точках K и N. Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников ABK и CBN соответственно. Докажите, что  O₁M = O₂M.

Решение

Достроим данный треугольник до параллелограмма ABCD (см. рис.). Заметим, что точки A и B лежат на окружности с диаметром KD. Следовательно,  O₁M ⊥ BD.  Аналогично  O₂M ⊥ BD.  Так как треугольники ABD и BCD равны, то равны и расстояния от центров их описанных окружностей до точки M.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2010
тур
задача
Номер	7