ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65020
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Точки C' и D' диаметрально противоположны точкам C и D соответственно. Касательные к окружности в точках C' и D' пересекают прямую AB в точках E и F (A лежит между E и B, B – между A и F). Прямая EO пересекает стороны AC и BC в точках X и Y, а прямая FO пересекает стороны AD и BD в точках U и V. Докажите, что  XV = YU.


Решение

  Достаточно доказать, что  XO = OY.  Действительно, тогда аналогично доказывается, что  UO = OV,  и, значит, XUYV – параллелограмм.
  Пусть прямая EO пересекает окружность в точках P и Q (см. рис.). Искомое равенство равносильно равенству двойных отношений
(PXOY) = (QYOX).  Спроецировав прямую EO на окружность из точки C, получим эквивалентное равенство  (PAC'B) = (QBC'A),  которое верно, так как прямые PQ, AB и касательная к окружности в точке C' пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2010
тур
задача
Номер 19

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .