ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65030
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA', BB', CC'. Известно, что в треугольнике A'B'C' эти прямые также являются биссектрисами.
Верно ли, что треугольник ABC равносторонний?


Решение

  Из условия следует, что в четырёхугольнике A'C'B'C диагональ CC' является биссектрисой углов C и C', а, значит, осью симметрии. Поэтому
A'C = B'C,  A'C' = B'C',  ∠CB'A' = ∠CA'B'  и  ∠AB'C' = ∠BA'C'.  Аналогично  ∠BC'A' = ∠BA'C' = ∠AB'C' = ∠AC'B'.  Следовательно, треугольники  AB'C' и BA'C' равны, то есть  AB' = BA'  и  AC = BC.
  Равенство  AB = BC  доказывается аналогично.


Ответ

Верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2011
тур
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .