ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65075
Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Биссектрисы углов A и C трапеции ABCD пересекаются в точке P, а биссектрисы углов B и D – в точке Q, отличной от P.
Докажите, что если отрезок PQ параллелен основанию AD, то трапеция равнобокая.


Решение

  Обозначим через  ρ(X, l)  расстояние от точки X до прямой l. Поскольку точка P лежит на биссектрисе угла C,  ρ(P, BC) = ρ(P, CD).  Аналогично
ρ(Q, B) = ρ(Q, BC).  Поскольку  QP || BC,  ρ(Q, BC) = ρ(P, BC),  откуда  ρ(Q, AB) = ρ(P, CD)  (см. рис.). Аналогично
ρ(P, AB) = ρ(P, AD) = ρ(Q, AD) = ρ(Q, CD).
  Продолжим боковые стороны AB и CD до пересечения в точке S. Пусть точка P' симметрична Q относительно биссектрисы l угла ASD. Тогда из симметрии  ρ(P', CD) = ρ(Q, AB) = ρ(P, CD)  и  ρ(P', AB) = ρ(Q, CD) = ρ(P, AB).  Таким образом, точки P и P' лежат внутри угла ASD на прямых, параллельных AB и CD и отстоящих от них на расстояния  ρ(P, AB)  и  ρ(P, CD)  соответственно. Так как эти прямые не параллельны, у них только одна точка пересечения; значит,  P' = P,  точки P и Q симметричны относительно биссектрисы угла ASD, и  lPQ || AD.
  Итак, в треугольнике SAD биссектриса является высотой, углы при его основании равны, то есть трапеция ABCD – равнобокая.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
год/номер
Номер 2 (2010)
тур
задача
Номер 8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .