ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65085
Темы:    [ Квадратные уравнения и системы уравнений ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Докажите, что какие-то два из исходных чисел совпадают.


Решение 1

Обозначим наши числа a, b, c. Тогда  a + b² + c² = a² + b + c² = a² + b² + c.  Из первых двух равенств имеем  a² – a = b² – b,  то есть
(a – b)(a + b –1) = 0.  Значит,  a = b  или  b = 1 – a.  Аналогично  a = c  или  c = 1 – a.  Следовательно, если  a ≠ b  и  a ≠ c,  то  b = 1 – a = c,  то есть в любом случае два числа равны.


Решение 2

Если  a + b² + c² = a² + b + c² = a² + b² + c,  то  a² – a = b² – b = с² – с = d  (где d – некоторое число), то есть числа a, b и c – решения уравнения
x² – x = d.  Но квадратное уравнение имеет не более двух решений. Это и значит, что хотя бы два из наших чисел равны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
тур
Номер 3 (2011 год)
тур
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .